Himpunan

HIMPUNAN

Sejarah Lahirnya Himpunan

Sejarah teori himpunan, pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Cantor meninggal di suatu institusi mental di jerman pada usia 73 tahun.

Banyak yang mengganggap bahwa mentalnya jatuh karena serangan-serangan terhadap ide-ide dan hasil karyanya yang dilakukan oleh para matematikawan lain. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertama kali cabang matematika ini dan menjadikan teori himpunan menjadi teori fundamental dalam matematika. Begitu pula metode yang digunakan olehnya dalam membuktikan keberadaan suatu himpunan tak hingga.

Definisi Himpunan

Menrut Georg Cantor, Himpunan adalah kumpulan benda benda yang didefinisikan dengan jelas dan tepat, yang dimaksud didefinisikan dengan jelas dan tepat adalah dapat ditentukan dengan tegas benda apa saja yang termasuk dalam suatu himunan yang diketahui. Benda benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen atau unsur dari suatu himpunan.

Contoh yang merupakan himpunan:

1.        Kelompok siswa di kelasmu yang hafal surat alfatiha.

2.        Kelompok/ kumpulan bilangan prima kurang dari 11       

3.        Kelompok hewan berkaki 2

4.        Kumpulan hewan berkaki 4

5.        Kumpulan  kendaraan beroda dua di UMSU

Defenisi bukan himpunan adalah anggotanya tidak dapat didefinisikan dengan jelas/ dan batasnya tidak tentu .

Contoh yang bukan merupakan himpunan:

1.        Kumpulan siswa dikelasmu yang berbadan tinggi. { pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasanya }

2.        Kumpulan lukisan indah. { pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya }

3.        Kumpulan orang orang pintar { pengertian pintar ini tidak jelas seberapa besar pengetahuannya }

4.        Kumpulan orang orang cantik { pengertian cantik ini tidak jelas seberapa cantik seseorang. Karena cantik itu relatif }

5.        Kumpulan orang orang miskin { pengertian ini tidak jelas seberapa miskin seseorang. }

Persamaan Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dimana a,b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Misalnya :

2x² + 5x – 3 = 0, maka a = 2, b = 5, dan c = -3

-4x² - 25 = 0, maka a = -4, b = 0, dan c = -25

3x² + 11x = 0, maka a = 3, b = 11, dan c = 0

Ketiga contoh diatas memnunjukkan bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax² + bx + c = 0 dimana a,b,c ialah bilangan real dan a ≠ 0 walaupun b atau c boleh nol. Nilai – nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan akar akar persaman kuadrat atau penyelesaian persamaan kuadrat.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ada beberapa cara, yaitu :

1.     Dengan pemfaktoran.

2.    Dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

3.    Dengan rumus persamaan kuadrat.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Jika suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan dalam bentuk hk=0 , maka persamaan itu dapat diselesaikan dengan pemfaktoran.

Contoh 1 :

Persamaan kuadrat x² + x – 6 = 0 difaktorkan dalam bentuk hk= 0.

           ( x – 2 ) (x + 3) = 0

            x – 2 = 0       atau x + 3 = 0

                  x = 2      atau       x = -3

Contoh 2 :

6x² – 11x – 10

(2x – 5) (3x + 2 )

2x – 5 = 0     atau     3x + 2 = 0

x  = 5/2       atau             x = - 2/3

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)

Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya. Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y disebut variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Manfaat Matematika Dalam Kehidupan Sehari - hari

Manfaat Matematika Dalam Kehidupan Sehari-hari

Pengertian matematika menurut kamus besar Bahasa Indonesia adalah ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antar bilangan dan prosedur operasionalyang digunakan dalam penyelesaian masalah bilangan. Dalam perkembangannya bilangan ini diaplikasikan ke bidang ilmu-ilmu lain sesuai penggunaannya.

Menurut James dan James (1976), matematika diartikan sebagai ilmu logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang saling berubungan satu sama lainnya dengan jumlah yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri. Sedangkan menurut Reys dkk. (1984), matematika diartikan sebagai analisis suatu pola dan hubungannya, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat.

Berdasarkan pengertian-pengertian tentang matematika tersebut maka matematika dapat diartikan sebagai suatu ilmu yang mempelajari bilangan dan bangun serta konsep-konsep yang berkenaan dengan kebenarannya secara logika menggunakan simbol-simbol yang umum serta aplikasi dalam bidang lainnya. Pendidikan matematika dapat diartikan sebagai proses perubahan baik kognitif, afektif, dan kognitif kearah kedewasaan sesuai dengan kebenaran logika. 

Peran serta pendidikan matematika dalam pendidikan secara keseluruhan sangat luas tidak hanya berkaitan tentang hal yang teknis dan ilmiah saja. Buktinya bahwa persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari dapat diuraikan dalam model matematika sehingga penyelesaiannya lebih cepat dan sederhana. Hal ini sesuai dengan tujuan pengajaran matematika di sekolah yang tertuang dalam kurikulum bahwa matematika melatih siswa untuk berpikir kritis, kreatif, inovatif, dan mampu menyelesaikan masalah dengan tepat dan singkat serta dapat dipertanggungjawabkan. 

Menurut H. Winter (1972), siswa seharusnya belajar berargumentasi, mengerti apa yang dibicarakan, memahami lalu dapat mengabstraksikannya sehingga menyeimbangkan penggunaan otak kiri dan otak kanan (otak kiri digunakan untuk menghitung dan otak kanan untuk kreatifitas) untuk mematematisasikan situasi di sekelilingnya. Sehingga guru harus mampu berkomunikasi dengan baik dalam kegiatan pembelajaran agar materi atau konsep yang disampaikan tidak disalahterimakan siswa. Hal ini agar pengajaran matematika tidak membosankan, menarik, dan menyenangkan. 

Ada beberapa karakteristik matematika, antara lain : 

1. Objek yang dipelajari abstrak. 

2. Kebenaranya berdasarkan logika. 

3. Pembelajarannya secara bertingkat dan kontinu. 

4. Ada keterkaitan antara materi yang satu dengan yang lainnya. 

5. Menggunakan bahasa simbol. 

6. Diaplikasikan dibidang ilmu lain. 

All about Trigonometri

                                        Pengertian dan Sejarah Trigonometri

Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan SilesiaBartholemaeusPitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

tg(a + b ) = tg a + tg bI - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tg(a - b ) = tg a - tg b1 + tg2a

Matematika Realistik (MR)

Matematika Realistik (MR)

Matematika realistik yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menemaptkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran. Masalah-masalah realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Pembelajaran matematika realistik di kelas berorientasi pada karakteristik RME, sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika. Dan siswa diberi kesempatan untuk mengaplikasikan konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari.

       Karakteristik RME menggunakan: konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif dan keterkaitan. (Trevers, 1991; Van Heuvel-Panhuizen, 1998). Di sini akan mencoba menjelaskan tentang karakteristik RME.
a. Menggunakan konteks “dunia nyata” yang tidak hanya sebagai sumber matematisasi tetapi juga sebagai tempat untuk mengaplikasikan kembali matematika.

Pembelajaran matematika realistik diawali dengan masalah-masalah yang nyata, sehingga siswa dapat menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung. Proses pencarian (inti) dari proses yang sesuai dari situasi nyata yang dinyatakan oleh DeLange (1987) sebagai matematisasi konseptual. Dengan pembelajaran matematika realistik siswa dapat mengembangkan konsep yang lebih komplit.

Kemudian siswa juga dapat mengaplikasikan konep-konsep matematika ke bidang baru dan dunia nyata. Oleh karena itu untuk membatasi konsep-konsep matematika dengan pengalaman sehari-hari perlu diperhatikan matematisasi pengalaman sehari-hari dan penerapan matematika dalam sehari-hari.

b. Menggunakan model-model (matematisasi) istilah model ini berkaitan dengan model situasi dan model matematika yang dikembangkan oleh siswa sendiri. Dan berperan sebagai jembatan bagi siswa dari situasi real ke situasi abstrak atau dari matematika informal ke matematika formal. Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah.

Model situasi merupakan model yang dekat dengan dunia nyata siswa. Generalisasi dan formalisasi model tersebut. Melalui penalaran matematika model-of akan bergeser menjadi model-for masalah yang sejenis. Pada akhirnya akan menjadi model matematika formal.

c. Menggunakan produksi dan konstruksi streefland (1991) menekankan bahwa dengan pembuatan “produksi bebas” siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi formal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah konstekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal.

d. Menggunakan interaktif. Interaktif antara siswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam pembelajaran matematika realistik. Bentuk-bentuk interaktif antara siswa dengan guru biasanya berupa negoisasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan, digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informal siswa.

e. Menggunakan keterkaitan dalam pembelajaran matematika realistik. Dalam pembelajaran ada keterkaitan dengan bidang yang lain, jadi kita harus memperhatikan juga bidang-bidang yang lainnya karena akan berpengaruh pada pemecahan masalah. Dalam mengaplikasikan matematika biasanya diperlukan pengetahuan yang kompleks, dan tidak hanya aritmatika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain.

Media Pembelajaran Dalam Matematika

MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi ( IPTEK) yang begitu pesat sehingga berdampak pada semua lini kehidupan, selain perkembangan yang pesat , perubahan juga terjadi dengan cepat karenanya di perlukan kemampian untuk memperolehnya , mengelola, dan memanfaatkan iptek. dan di dalam kemampuan ini di perlukanyafikiran yang sistematis, logis, dan kritis yang dapat di kembangkan melalui mutu pendidikan. hal yang paling menentukan untuk tercapainya pendidikan yang berkualitas adalah proses pembelajaran yang di laksanakan .

          Matematika merupakan salah satu komponen dari serangkaian mata pelajaran yang mempunyai perana penting dalam pendidikan yang tidak dapat di pisahkan. Matematika merupaka salah satu bidang studi yang mendukung perkembangan IPTEK , namun sampai saat ini masih banyak siswa yang masi beranggapan  bahwa matematika adalah pelajaran yang sulit . tidak menyenangkan bahkan momok yang sangat menakutkan, hal ini di karenakan banyak siswa yang masih mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal soalmatematika.

         Hal ini sudah tak bisa lagi di pungkiri, dengan mendengar kata matematika saja  sudah banyak siswa yang ketakutan , kebingungan, bahkan bolos sekolah dan lebih di sayangkan lagi banyak siswa yang tidak mau bersekolah lagi, karena mereka kurang rasa percaya diri dan selalu pisimis gampang menyerah, tidak mau berusaha.

        Nah untuk mengatasi itu semua di butuhkanlah suatu media pembelajaran yang menarik khusunya pada mata pelajaran matematika. mengapa di perlukan media karena MEDIA merupakan suatu wahana penyalur informasi atau penyalur pesan yang dapat membantu siswa dalam belajar & membantu guru dalam mengajar.

     

         Kata Media berasal dari bahasa latin dan merupakan bentuk jamak dari kata medium yang secara  harafiah berati perantara  atau penyalur .dengan demikian maka media merupakan wahana penyalur informasi belajar.
Fungsi media dalam proses pembelajaran ,secara umum media itu mempunyai fungsi memperjelas pesan agar tidak terlalu verbalistis megatasi keterbatasan ruang, waktu.tenaga dan daya indra menimbulkan gairah belajar memberi rangsangan yang sama penyampaian pesan  pembelajaran  dapat terstandar pembelajaran dapat lebih menarik